椭圆形周长计算公式

什么是椭圆形？

椭圆形是一种特殊的曲线，由一个平面上到两个定点（焦点）的距离之和等于常数的点的轨迹构成。这个常数叫做椭圆的半长轴，而两个焦点之间的距离则叫做椭圆的半短轴。

椭圆形周长公式

椭圆形的周长可以用以下公式计算：

C = π(a + b)，其中a和b分别是椭圆半长轴和半短轴的长度，π是圆周率。

推导过程

首先，我们将椭圆分成无数个小线段，每个小线段的长度为ds。我们可以用弧长公式计算每个小线段的长度：

ds = √[dx² + dy²]

然后，我们用参数方程表示椭圆的轮廓，即

x = a*cos(t)

y = b*sin(t)

其中t是参数，a和b分别是半长轴和半短轴的长度。我们可以用微积分中的弧长公式计算椭圆的周长：

C = ∫[0, 2π] √[dx/dt² + dy/dt²] dt

代入椭圆的参数方程，得到

C = ∫[0, 2π] √[a²*sin²(t) + b²*cos²(t)] dt

我们可以做一个变换，让椭圆变成一个单位圆。设x = a*cos(t)，则dx/dt = -a*sin(t)；设y = b*sin(t)，则dy/dt = b*cos(t)。将这些代入上式得到

C = ∫[0, 2π] √[cos²(t) + (b/a)²*sin²(t)] dt

再用三角恒等式将cos²(t)替换成sin²(t)得到

C = ∫[0, 2π] √[(1+b²/a²)*sin²(t)] dt

由于椭圆是对称的，所以我们只需要计算1/4个周长即可。代入上式并求解得到

C = 4a∫[0, π/2] √[1-(b/a)²*sin²(t)] dt

这时候我们可以做一个变量代换，令sin(t) = (b/a)*sin(u)，则cos(t) = cos(u)/√[1-(b/a)²*sin²(u)]。代入上式得到

C = 4a∫[0, π/2] cos²(u)/√[1-(b/a)²*sin²(u)] du

这个积分可以用第一类不完全椭圆积分表示：

C = 4a\\ E(k) = 4a\\ \\int_0^{\\pi/2} \\sqrt{1-k^2\\sin^2(u)}\\ du

其中k² = 1-(b/a)²。