平行四边形的定义

平行四边形是指有两组平行的边，且对角线互相垂直的四边形。

平行四边形对角线的特点

平行四边形的对角线互相平分，即将平行四边形的一个对角线分成两部分，每一部分的长度等于另一条对角线长度的一半。

证明：

设ABCD为平行四边形，AC为一对角线，BD为另一对角线。向量$\\vec a$表示AC，向量$\\vec b$表示BD。

平行四边形的定义可以得出向量$\\vec a$和$\\vec b$平行，即$\\vec a\\parallel\\vec b$。

平行四边形的对角线互相垂直，即$\\vec a\\cdot\\vec b=0$。

设$\\vec{AP}$为对角线AC的中点到BD的垂线段，$\\vec{BP}$为对角线BD的中点到AC的垂线段。

则向量$\\vec{PA}$和$\\vec{PB}$分别为向量$\\vec a$和$\\vec b$的半长，即$\\vec{PA}=\\frac{1}{2}\\vec{a}$，$\\vec{PB}=\\frac{1}{2}\\vec{b}$。

连接线段$\\vec{AB}$，则向量$\\vec{AB}$表示线段$\\vec{PA}$和$\\vec{BP}$的和，即$\\vec{AB}=\\vec{PA}+\\vec{PB}$。

根据向量加法的性质，得$\\vec{AB}=\\frac{1}{2}\\vec{a}+\\frac{1}{2}\\vec{b}=\\frac{1}{2}(\\vec{a}+\\vec{b})$。

同时，由于$\\vec a\\parallel\\vec b$，所以向量$\\vec{AB}$垂直于$\\vec a$和$\\vec b$。

因此，向量$\\vec{AB}$是对角线AC和BD的中垂线，即平行四边形的任意一条对角线被中垂线分成了两条相等的部分。

因此，平行四边形的对角线互相平分。

平行四边形对角线的长度公式

设ABCD为平行四边形，AC为一对角线，BD为另一对角线，AB为其中的一条边。

设AC=b，BD=a，AB=c，对角线的夹角为$\heta$，则有：

$c^2=b^2+a^2-2ab\\cos\heta$

证明：

设$\\vec a$和$\\vec b$分别表示对角线AC和BD，则$\\vec{AB}=\\vec a+\\vec b$。

设$\\vec n$为向量$\\vec a$和向量$\\vec b$的外积，表示它们所在的平面的法向量。

则$\\vec{AB}$和$\\vec n$垂直。

设$h$为垂线段AD的长度，则$\\vec{AD}=h\\vec n$。

又因为平行四边形的对角线互相垂直，所以$\\vec a\\cdot\\vec b=0$，即$\\cos\heta=\\frac{\\vec a\\cdot\\vec b}{ab}$。

代入$\\vec{AB}=\\vec a+\\vec b$、$\\vec{AD}=h\\vec n$和$\\cos\heta=\\frac{\\vec a\\cdot\\vec b}{ab}$，得

$c^2=|\\vec{AB}|^2=|\\vec a+\\vec b|^2=(\\vec a+\\vec b)\\cdot(\\vec a+\\vec b)=\\vec a\\cdot\\vec a+2\\vec a\\cdot\\vec b+\\vec b\\cdot\\vec b$

$=a^2+b^2+2ab\\cos\heta=a^2+b^2+2abh\\frac{\\vec a\\cdot\\vec b}{ab}=a^2+b^2+2abh\\cos\heta=a^2+b^2+2abh\\frac{\\vec{AD}\\cdot\\vec n}{ab}$

$=a^2+b^2+2h^2=-(a^2+b^2-2abh\\cos\heta)=-(-c^2)$

因此，得到平行四边形对角线的长度公式：

$c^2=b^2+a^2-2ab\\cos\heta$